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<!DOCTYPE html>

<title>Anfangsbedingung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Anfangsbedingung</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Eine <b>Anfangsbedingung</b> für eine <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnliche Differentialgleichung</a> sagt aus, welchen <a href="Funktionswert" class="mw-redirect" title="Funktionswert">Funktionswert</a> die gesuchte <a href="L%C3%B6sung_(Mathematik)" title="Lösung (Mathematik)">Lösung</a> sowie ggf. ihre <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a>(en) an einer bestimmten Stelle haben sollen.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Praktisch jede <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</a> erlaubt an sich unendlich viele Lösungen. Eine Anfangsbedingung trifft unter all diesen Lösungen eine Auswahl. Manchmal erfüllen mehrere, manchmal eine einzige, manchmal gar keine der Lösungen die Anfangsbedingung.

</p><p>Wer zu einer Differentialgleichung eine Anfangsbedingung hinzufügt, stellt damit ein <a href="Anfangswertproblem" title="Anfangswertproblem">Anfangswertproblem</a>. Eine besonders spannende Frage lautet dabei, wie eine Anfangsbedingung zu einer gegebenen Differentialgleichung beschaffen sein muss, damit das entstehende Anfangswertproblem <i>genau eine</i> eindeutig bestimmte Lösung zulässt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Praktische_Bedeutung">Praktische Bedeutung</h2></div>

<p>Wenn die Differentialgleichung eine zeitliche Entwicklung beschreibt, etwa die Bewegung eines Gegenstandes im Raum, so legt die Anfangsbedingung fest, in welchem Zustand die Bewegung beginnt, etwa an welchem Ort sich der Gegenstand anfangs befindet.

</p><p>Die Frage, welche Art von Anfangsbedingung geeignet ist, um eine eindeutige Lösung auszuzeichnen, bedeutet dann: Was muss ich über die Gegenwart eines Systems wissen, um seine historische Entwicklung vollständig nachrechnen und seine Zukunft komplett vorhersagen zu können?

</p><p>Eine Anfangsbedingung im mathematischen Sinn muss sich nicht zwangsläufig auf einen zeitlichen oder räumlichen Anfangspunkt beziehen. Was umgangssprachlich eher als „Endbedingung“ oder „Zwischenzustand“ erscheint, wird in der Mathematik ebenfalls „Anfangsbedingung“ genannt.

</p><p>Für <a href="Lineare_Differentialgleichung" class="mw-redirect" title="Lineare Differentialgleichung">lineare Differentialgleichungen</a> ist das Vorhandensein von Anfangsbedingungen (ungleich Null) gleichbedeutend mit dem <a href="Schwingung#Anregung_einer_Schwingung" title="Schwingung">Anregen</a> des gleichen Systems mit einem <a href="Impuls" title="Impuls">Impuls</a>, wobei aber hier die Anfangsbedingungen Null sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

<p>Der <a href="Freier_Fall" title="Freier Fall">freie Fall</a> (etwa eines Apfels vom Baum) wird beschrieben durch die <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichung</a>

</p>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}y''(t)&=-g\\\Rightarrow y'(t)&=-g\cdot t+v_{0}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc0549e66588a0a3943f32a1a1d843b4e2ed39f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.778ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}y''(t)&=-g\\\Rightarrow y'(t)&=-g\cdot t+v_{0}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>mit der Konstanten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\approx 9{,}81~\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\approx 9{,}81~\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a31c7dda131e5e72b6ae94c7db13b364b9300be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.998ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g\approx 9{,}81~\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}" loading="lazy"></span> (<a href="Erdbeschleunigung" class="mw-redirect" title="Erdbeschleunigung">Erdbeschleunigung</a>).

</p><p>Die <a href="L%C3%B6sungsmenge" title="Lösungsmenge">Lösungsmenge</a> dieser Differentialgleichung besteht zunächst aus <i>allen</i> <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> der Form

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow y(t)=-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}\cdot t+y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbfe831354cf28a276dd3e2e1d637900bf944c58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:28.923ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow y(t)=-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}\cdot t+y_{0}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>mit beliebigen <a href="Integrationskonstante" class="mw-redirect" title="Integrationskonstante">Integrationskonstanten</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{0}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60faad24775635f4722ccc438093dbbfe05f34ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{0}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Eine mögliche Anfangsbedingung sagt z. B. aus, dass der Apfel zu Beginn der Bewegung an einem Ast in drei Metern Höhe hängt:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(0)=y_{0}=3~\mathrm {m} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/922744d716f32007fcaea9916b23c53ca7a829a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.197ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(0)=y_{0}=3~\mathrm {m} }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und sich in Ruhe befindet:

</p>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'(0)=v_{0}=0~\mathrm {m} /\mathrm {s} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac2bad6ada7d41fb3990a92f47b2d683d32efe5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.953ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y'(0)=v_{0}=0~\mathrm {m} /\mathrm {s} }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Diese Anfangsbedingung zeichnet nun in der Lösungsmenge der Differentialgleichung <i>die eine</i> Funktion

</p>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow y(t)=3~\mathrm {m} -{\tfrac {1}{2}}gt^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f099f720df10a735fe6149f9f4fc9dd4ebf901.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:21.059ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow y(t)=3~\mathrm {m} -{\tfrac {1}{2}}gt^{2}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>als die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems aus.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerung">Verallgemeinerung</h2></div>

<p>Bei <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a>, wenn also die gesuchte Funktion nicht nur von einer, sondern von mehreren Variablen abhängt, werden oftmals <a href="Randbedingung" title="Randbedingung">Randbedingungen</a> an Stelle von Anfangsbedingungen verwendet. Manchmal wird dann der Spezialfall einer Randbedingung, deren <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereich</a> eine <a href="Hyperebene" title="Hyperebene">Hyperebene</a> im vollen Definitionsbereich der Differentialgleichung bildet, Anfangsbedingung genannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkung">Anmerkung</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Bei Funktionen der Zeit kann die <i>bestimmte Stelle</i> der Zeitpunkt sein, der als zeitlicher <i>Anfang</i> in den Begriffen <i>Anfang</i>sbedingung und <i>Anfang</i>swert wiederzufinden ist.</span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Hans Heiner Storrer: <i>Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften.</i> Band 2, 1. Auflage, Birkhäuser Verlag, 1995, ISBN 978-37-6435-325-4.</li>

<li>Klaus D. Schmidt: <i>Mathematik.</i> Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler, 2. überarbeitete Auflage, Springer Verlag Berlin - Heidelberg, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.uni-oldenburg.de/fileadmin/user_upload/neuro/ag/compneuro/download/Matlab_Einfuehrung/2013/Tag7/Skript_ODE.pdf">Differenzialgleichungen mit MATLAB lösen</a> (abgerufen am 20. September 2021)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www2.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/Vorlesungen/Differentialgleichungen/Folien_Abhaengigkeit_von_Anfangsbedingungen.pdf">Abhängigkeit von Anfangsbedingungen</a> (abgerufen am 15. Oktober 2015)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://core.ac.uk/download/pdf/153227835.pdf">Parabolische Randanfangswertprobleme mit zufälliger Anfangsbedingung</a> (abgerufen am 20. September 2021)</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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